[박형주 세상 속 수학] 체험과 직관의 위험성

입력 : ㅣ 수정 : 2018-05-23 01:08

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박형주 아주대 총장

▲ 박형주 아주대 총장

고대 이집트인들은 피라미드를 건설하고 운하를 만드는 등 건축과 토목에 정성을 기울였다. 목재를 등분하거나 직각으로 교차하는 작업이 자주 출현했는데, 정확한 직각을 만들어 내기 위해 밧줄을 사용했다. 균등한 간격으로 12개의 매듭을 지은 밧줄을 만들고, 3개의 매듭에서 꺾고 다시 4번째 매듭에서 꺾어서 팽팽한 삼각형을 만든다. 그러면 3매듭과 4매듭 사이가 더도 덜도 아닌 90도를 이룬다.

각 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형은 직각삼각형이라는 사실을 피타고라스가 명쾌하게 논증한 것은 무려 천 년 이상 지난 뒤다. 이집트 공사장에서 아주 유용하게 사용하던 이 12매듭 밧줄을 요즘은 이집트삼각형이라고 부른다.

원과 정사각형이 비슷한 면적을 갖게 하려면 어떻게 해야 할까? 고대 이집트인들은 지름이 9인 원과 한 변이 8인 정사각형은 대충 비슷한 면적을 갖는다는 것을 경험적으로 알고 있었다. 이 비율을 사용해서 원주율을 계산하면 3.16쯤 나오니까 상당한 근사치다. 중세 이후 무한급수나 미적분을 사용해 원주율을 정확히 계산하는 방법이 나왔지만 평범한 사람이 이해하기는 기대 난망이다. 이쯤 되면 구태여 논증의 험난한 과정을 거치지 않아도 경험과 직관으로 해결할 수 있는 일이 많다고 할 만하다. 그런데 인류는 왜 직관을 신뢰하지 않고 논증의 험로를 걸어온 걸까.

대답은 많다. 제한된 경험에 의지하다 보면 쉽게 일반화해서 틀린 결론을 내는 경우가 비일비재하니까. 근거 없는 직관과 신념은 미신과 다를 바 없으니까. 평생 하얀 백조만 본 사람이 블랙스완을 어떻게 인정할 것이며, 음이온이 건강에 좋다고 무조건 믿는 사람이 라돈 침대의 위험성을 어떻게 꿰뚫어 보겠는가.


기하(幾何)는 한자로 ‘몇 기’와 ‘어찌 하’의 결합이라서 무애(无涯) 양주동 선생의 수필인 ‘몇 어찌’의 주제가 되기도 했다. 한국 고대 시가 연구의 시조 격인 무애 선생은 스스로를 국보 1호라고 칭하는 등 재미있는 에피소드를 많이 남겼다. 조선 최고 천재로 불렸던 무애의 ‘몇 어찌’는 예전 국어 교과서에 수록돼서 내 세대 사람들은 대부분 기억하는 수필이다. 한학을 공부하던 무애는 늦은 나이에 서양 학문을 공부했는데, 시작하자마자 기하, 즉 ‘몇 어찌’라는 뚱딴지같은 과목을 접했다. 기하는 영어 ‘geometry’를 음차한 용어라서 한자의 뜻으로 이해하려 하면 안 되는데, 늦깎이 학생이 알 턱이 없었다. 이 단어는 그리스어의 ‘땅’과 ‘측량’이라는 단어의 결합이니 사물의 ‘모양’을 다루는 분야라는 뜻이다. 좌절감에 빠진 무애는 ‘몇 어찌’를 이해해 보리라 독하게 맘먹고 몇 날을 밤새우다가 그 논리성과 명징성에 빠져들었다. 유클리드의 논증 기하라는 신대륙을 발견한 그 벅찬 마음을 글로 적어 수필로 남겼다.

이집트인들은 실용적 필요와 예술적 욕구로부터 수학을 발전시켰지만 전승되면서 심화하고 발전되지 못했다. 하지만 유클리드의 기하는 논증을 통해 결론에 다다르는 사유의 방식으로 자리 잡아 서양 지성사에 심대한 영향을 끼쳤다. 스피노자의 윤리학이나 미국 독립선언서도 유클리드적 논증 전개의 사례로 꼽힌다. 아인슈타인은 유년기에 가장 큰 영향을 끼친 책으로 칸트의 순수 이성 비판과 유클리드 원론을 들곤 했다.

교육은 경험과 직관의 전수라기보다는 합리적 사유의 방식을 전수하는 행위다. 합리적 사유 방식을 가르치는 가장 오래되고 효과적인 방식인 논증이 우리 교육에서 점점 사라지고 있는 것은 아닌지.
2018-05-23 30면
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